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By Gert-Martin Greuel, Günther Trautmann

It's renowned that there are shut family among periods of singularities and illustration thought through the McKay correspondence and among illustration thought and vector bundles on projective areas through the Bernstein-Gelfand-Gelfand development. those kin besides the fact that can't be thought of to be both thoroughly understood or totally exploited. those complaints record contemporary advancements within the sector. The questions and strategies of illustration concept have functions to singularities and to vector bundles. illustration thought itself, which had essentially constructed its equipment for Artinian algebras, starts off to enquire algebras of upper measurement in part due to those functions. destiny study in illustration conception might be spurred by means of the category of singularities and the hugely constructed concept of moduli for vector bundles. the quantity includes three survey articles at the three major themes pointed out, stressing their interrelationships, in addition to unique study papers.

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Denn sonst w¨are fˆ : C/Ω → C ein Isomorphismus. 2 Funktionen vom Grad 2. Wenn eine Ω-elliptische Funktion f vom Grad 2 existiert, gibt es genau eine mit der Polstellenmenge Ω , deren Laurent-Reihe um 0 die Form z −2 + a2 z 2 + a4 z 4 + . . hat. Diese Funktion wird nach Weierstraß mit ℘ bezeichnet. 2 bewiesen. Beweis. Die Ableitung f ′ : C → C ist surjektiv. Sie besitzt eine Nullstelle a . Dort hat f einen Windungspunkt. Durch Nachschalten einer M¨obiusTransformation erreichen wir f (a) = ∞ . Wir ersetzen f (z) durch f (z + a) .

Der einzige Pol liegt in ∞ . Dort ist o(p, ∞) = −gr p der negative Polynomgrad. Daher stimmen Polynom- und Abbildungsgrad u ¨berein. Rationale Funktionen sind Quotienten f = p/q von Polynomen. Sie bilden den K¨orper C(z) ⊂ M(C) . 2(2). (1) F¨ ur Polynome ohne gemeinsame Nullstelle ist gr (p/q) = max {gr p, gr q} . (2) Jeder Divisor D auf C vom Grade Null ist Hauptdivisor der rationalen Funktion (z − a)D(a) . a∈C Insbesondere gibt es zu jeder meromorphen Funktion f = 0 auf C eine rationale Funktion h , so daß (f ) = (h) ist.

Wenn η : X → Y offen und holomorph ist, entsteht aus jeder meromorphen Funktion g auf Y die geliftete meromorphe Funktion g ◦η auf X . h. 1 ergibt (2) o(g ◦ η, x) = o g, η(x) · v(η, x) f¨ ur x ∈ X . Wenn X zusammenh¨angt, ist M(X) auch ein K¨orper. 6 Meromorphe Funktionen 21 ¨ Satz. Bei jeder normalen Uberlagerung η mit der Deckgruppe D ist ∗ (3) η M(Y ) = MD (X) := {f ∈ M(X) : f ◦ γ = f f¨ ur γ ∈ D} der Teilk¨ orper der D-invarianten Funktionen. 4 Divisoren. Ein Divisor auf der Fl¨ache X ist eine Funktion D : X → Z , deren Tr¨ ager Tr(D) := {x ∈ X : D(x) = 0} lokal endlich ist.

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