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By J.J. Burckhardt

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Sei I der Vektor OP. Indem wir I als freien Vektor im beliebigen Gitterpunkt Q ansetzen, erhalten wir im Endpunkt von I den Bildpunkt von Q. Das Verknüpfungsgesetz ist das Additionsgesetz der freien Vektoren, es ist daher vorteilhaft, die Gruppe additiv zu schreiben, Gruppenelemente sind die sämtlichen Vektoren von einem beliebigen Gitterpunkt P zu einem beliebigen Gitterpunkt Q. Für diese freien Vektoren gilt das Assoziativgesetz, das Einheitselement ist der Nullvektor, der in P anfängt und endigt, die Inverse des Vektors 0 P = I ist der Vektor PO = - I.

Die Kristallklassen Verbinden wir Satz 8 mit Satz 7, so ergibt sich die folgende Charakterisierung der Kristallklassen : SATZ 9: Eine Kristallklasse ist eine endliche homogene lineare Substitutionsgruppe, die sich in orthogonaler Gestalt schreiben läßt und die ein Gitter in sich überführt. Es ist hier wohl der Ort, auf den Unterschied zwischen einer abstrakten Gruppe und ihren Darstellungen durch homogene lineare Substitutionen oder Matrizen aufmerksam zu machen, nachdem wir ihm bereits mehrmals begegnet sind.

Um einzusehen, daß einer der vier Vektoren (iQ, AQ, BQ, iiQ kürzer als Ib I ist, schlage man um jeden der vier Punkte 0, A, B, D den Kreis mit dem Radius Ibl. Die Diagonalen OD und AB liegen ganz im Innem des von diesen vier Kreisen überdeckten Gebietes und daher auch das Parallelogramm OABD. Somit ist einer der genannten vier Vektoren kürzer als Ib I. Diesen Vektor tragen wir von 0 aus ab und erhalten einen Netzpunkt, der näher bei 0 liegt als B, entgegen der Voraussetzung. Wir behaupten ferner, daß Ib I~ Icl· (2) Wäre Ib I> Icl, so fügen wir den freien Vektor cin 0 an und erhalten einen 62 H.

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