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By Michael Kaplan

Unter Computeralgebra versteht guy den Grenzbereich zwischen Algebra und Informatik, der sich mit Entwurf, examine, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen befasst. Entsprechend dieser Sichtweise stellt der Autor einige Computeralgebra-Systeme vor und zeigt an Beispielen deren Leistungsfähigkeit. Grundlegende Techniken, wie etwa das Rechnen mit großen ganzen Zahlen, werden untersucht. Für komplexe Fragestellungen wie das Faktorisieren von Polynomen, werden mehrere Algorithmen angeboten, da diese verschiedene Stärken haben. Häufig ist der vermeintliche Umweg über andere mathematische Strukturen der schnellste Weg. In den ersten Kapiteln werden die nötigen mathematischen Grundlagen zur Verfügung gestellt. Die folgenden Kapitel können dann weitestgehend unabhängig voneinander gelesen werden. Alle vorgestellten Algorithmen werden begründet und teilweise in einer Pseudoprogrammiersprache dargestellt. Das Buch richtet sich gleichermaßen an Studierende der Mathematik und der Informatik.

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Xn ∈ ❈ alle Wurzeln von p(x) . Dann gilt n |pn | max{1, |xj |} ≤ p(x) . 2 j=1 Beweis: Der Einfachheit halber seien die Wurzeln x1 , . . , xn ∈ ❈ von p(x) gerade so sortiert, dass |x1 |, . . , |xk | > 1 und |xk+1 |, . . , |xn | ≤ 1 n k sind. Damit ist |pn | j=1 max{1, |xj |} = |pn | j=1 |xj | . Nun betrachtet man das Polynom k k−1 n q(x) := pn (xj x−1) j=1 (x−xj ) = (xk x−1)·pn n (xj x−1) j=1 j=k+1 (x−xj ). j=k+1 Anwendung des Hilfssatzes zeigt nun k−1 q(x) 2 = (x − xk ) · pn n (xj x − 1) j=1 = 2 n k−1 (xj x − 1) = pn (x − xj ) j=k+1 j=1 (x − xj ) j=k .

4 Beispiel: Wir wollen die Kongruenzen u ≡ 2 mod 3 , u ≡ 3 mod 5 , u ≡ 10 mod 14 (2) (1) l¨osen. Bereits im letzten Beispiel war n1 = 6 und n2 = −5 berechnet worden. (3) (1) (3) (2) Analog erh¨ alt man: n1 = 15 , n3 = −14 , n2 = 15 , n3 = −14 und damit (1) (1) L1 = n2 n3 = (−5) · (−14) = 70 (2) (2) L2 = n1 n3 = 6 · (−14) = −84 (3) (3) L3 = n1 n2 = 15 · 15 = 225 ⇒ u ≡ 2·70−3·84+10·225 mod(3·5·14) ≡ 2138 mod 210 ≡ 38 mod 210 mit der Lagrange-L¨ osung, oder u(1) = 2 u(2) = 2 + (3 − 2) · 6 = 8 u(3) = 8 + (10 − 8) · 15 · 15 = 458 ≡ 38 mod 210 mit der Newton-L¨ osung.

Dann gilt Inh(f · g) Inh(f ) · Inh(g) . 4) Beweis: Es gilt f · g = pA(f ) · Inh(f ) · pA(g) · Inh(g) . Da f¨ ur r ∈ R und f ∈ R[x] gilt Inh(rf ) r Inh(f ) , f¨ uhrt beidseitige Berechnung des Inhalts auf Inh(f · g) Inh(f ) · Inh(g) · Inh(pA(f ) pA(g)) . Da mit pA(f ) und pA(g) nach dem vorhergehenden Hilfssatz auch das Produkt primitiv ist, folgt Inh(pA(f ) pA(g)) ∈ R∗ und somit die Behauptung. Sind f und g ¨ahnlich, so gibt es a, b ∈ R \ {0} mit af = bg . Es folgt a · Inh(f ) Inh(af ) = Inh(bg) b · Inh(g) .

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